移流方程式とかCIP法とかのメモ - 数値計算とかの備忘録（仮）

CIP法についてふれたのでメモ程度にまとめてみる。

移流方程式は、 $c$ を伝播速度（ここではとりあえず一定）とすると、

$\frac{\partial f}{\partial t}+c\frac{\partial f}{\partial x}=0$

で表される。
元の関数 $f$ の空間微分

$g=\frac{\partial f}{\partial x}$

に対する移流方程式を考えると、

$\frac{\partial g}{\partial t}+c\frac{\partial g}{\partial x}=0$

と表すことができる。この微分方程式をコンピュータで解いてやると、割と良い結果が得られる。

時刻 $n$ での　 $x_{i}$ , $x_{i-1}$ 　間のプロファイルを

$F^{n}_{i}(x)=a_{i}(x-x_{i})^{3}+b_{i}(x-x_{i})^{2}+c_{i}(x-x_{i})+d_{i}$

としてやるといい感じになる。
また、有理関数を使うと、

$F^{n}_{i}(x)=\frac{b_{i}(x-x_{i})^{2}+c_{i}(x-x_{i})+d_{i}}{1+B(x-x_{i})}$

aとかbとかcとかdとかBとかは条件を入れて計算する。
有理関数を使った方が精度が良い。

ちなみに移流方程式の風上差分近似のプロファイルは

$F^{n}_{i}(x)=\frac{f^{n}_{i}-f^{n}_{i-1}}{\Delta x}(x-x_{i})+f^{n}_{i}$

となる。
小文字のfはすでに分かっている値。

・・・でいいのかな。次はプログラムにしてみよう。